Базові моделі вартісної оцінки опціонів
У практиці часто необхідно визначити вартість одного з видів опціону, не знаючи вартості іншого його виду. Для визначення такої вартості використовуються ряд інших моделей.
1. Модель оцінки вартості опціонів Блека-Шоулза розроблена для європейського опціону «колл», базисним активом якого є проста акція.
Основні обмежуючі умови:
1) модель оцінки розглядає тільки європейський опціон;
2) використання моделі припускає, що можлива захитаного курсової ціни акцій точно відома і зберігається незмінною протягом терміну дії опціону;
3) можлива захитаного курсової ціни акції обумовлена тільки дифузійним процесом (тобто курс акції не може змінюватися стрибкоподібно з пропуском будь-яких проміжних значень);
4) безризикова ставка відсотка приймається єдиної для інвестиційних та кредитних операцій, відома і незмінна до дати погашення опціону;
5) за акції, що розглядається як базовий актив опціону «колл», дивіденди не виплачуються;
6) рівні оподаткування та трансакційних витрат незначні і в розрахунках не використовуються.
Модель Блека-Шоулза має наступний вигляд:
С - внутрішня вартість опціону на купівлю (опціону «колл»);
N (d) - функція розподілу стандартної нормальної випадкової величини (використовується спеціальна розрахункова таблиця);
S - поточний ринковий курс акції;
E - ціна виконання опціону;
ln - - натуральний логарифм;
e - основа натурального логарифма (2,71828);
r - безризикова ставка відсотка,
Т - період часу до дати виконання опціону;
? - середньоквадратичне відхилення очікуваної прибутковості акції.
Наприклад, Необхідно визначити внутрішню вартість опціону «колл» за таких умов:
S - поточний ринковий курс акції = 47 дол;
E - ціна виконання опціону = 45 дол;
e - основа натурального логарифма (2,71828);
r - безризикова ставка відсотка = 0,1,
Т - період часу до дати виконання опціону = 183 дні;
? - середньоквадратичне відхилення очікуваної прибутковості акції = 0,25.
,
За даними таблиці нормального розподілу:
N (0.6172) = 0.7315,
N (0.4404) = 0.6702.
Тоді:
дол
2. Один з американських дослідників - Р. Мертон удосконалив дану модель за рахунок можливості обліку дивіденду за акцією - D. З урахуванням цього значення розглянута модель приймає наступний вигляд:
3. Дж Коксом, С. Россом та М. Рубінштейном була розроблена альтернативна модель, яка отримала назву Біноміальна модель оцінки вартості опціонів. Ця модель дозволяє оцінити вартість опціону за ряд періодів часу до дати виконання опціону. Модель отримала назву біномного тому, що в кожному періоді в ній передбачається існування тільки двох можливих альтернатив поточної ринкової вартості акції. Формується біномного дерево, наочно ілюструє процес визначення вартості опціону (див. ріс.5.2):
Умовні позначення:
СОР - вартість опціону після підвищення ціни базисного активу;
СОС - вартість опціону після пониження ціни базисного активу
CО `` p
СВ `p
CO `` c
СВ CO `` p
CO `c
CO `` c
Рис. 5.2 - Двухперіодная Біноміальна модель ціноутворення опціону, представлена у вигляді біномного дерева.
На першому етапі визначається вартість базисного активу після «n» періодів на передбачуваний момент виконання опціону у вузлі «n +1».
На другому етапі виробляється обчислення потенційно можливих значень вартості опціону у вузлі «n +1» на передбачуваний момент його виконання.
На третьому етапі здійснюється визначення потенційно можливих значень вартості опціону в «n» вузлах на момент «n-1». В основі цього розрахунку лежить дисконтування можливих значень вартості опціону на момент виконання з урахуванням ймовірностей підвищення або зниження ціни базисного активу.
На четвертому етапі на основі двох можливих значень вартості опціону, отриманих для першого періоду, визначається приведена його вартість на початковий момент часу.
Виходячи з цього алгоритму дій можна визначити вартість опціону в кожної гілки біномного дерева, починаючи від моменту виконання опціону до початкового моменту часу, що і буде характеризувати його поточну вартість.