Проведення практично будь-якої фінансової операції породжує рух грошових коштів. Такий рух може характеризуватися виникненням окремих платежів, або безліччю виплат і надходжень, розподілених у часі.

У процесі кількісного аналізу фінансових операцій, зручно абстрагуватися від їх конкретного економічного змісту і розглядати породжувані ними рухи грошових коштів як чисельний ряд, що складається з послідовності розподілених у часі платежів CF0, CF1, ..., Cfn. Для позначення подібного ряду в світовій практиці широко використовується термін "потік платежів"Або"грошовий потік"(Cash flow - CF).

Окремий елемент такого чисельного ряду CFt представляє собою різниця між усіма надходженнями (притоками) грошових коштів та їх витрачанням (відпливами) на конкретному тимчасовому відрізку проведення фінансової операції. Таким чином, величина CFt може мати як позитивний, так і негативний знак.

Кількісний аналіз грошових потоків, що генеруються за певний період часу в результаті реалізації фінансової операції, або функціонування будь-яких активів, у загальному випадку зводиться до обчислення наступних характеристик:

FVn - Майбутньої вартості потоку за n періодів;

PVn - Сучасної вартості потоку за n періодів.

Часто виникає необхідність визначення і ряду інших параметрів фінансових операцій, найважливішими з яких є:

CFt - Величина потоку платежів в періоді t;

r - Відсоткова ставка;

n - Термін (кількість періодів) проведення операції.

Нижче будуть розглянуті найбільш поширені види грошових потоків, їх властивості.

 Фінансові операції з елементарними потоками платежів

Найпростіший (елементарний) (У деяких джерелах для позначення подібних потоків використовується термін "разовий платіж") грошовий потік складається з однієї виплати та подальшого вступу, або разового надходження з подальшою виплатою, розділених n - періодами часу (наприклад - років).

Прикладами фінансових операцій з подібними потоками платежів є строкові депозити, одноразові позички, деякі види цінних паперів та ін Неважко помітити, що чисельний ряд у цьому випадку складається всього з двох елементів - (-PV; FV) Або (PV;-FV).

Операції з елементарними потоками платежів характеризуються чотирма параметрами - FV, PV, r, n. При цьому величина будь-якого з них може бути визначена за відомим значенням трьох інших.

Майбутня величина елементарного потоку платежів

Розглянемо технологію обчислення майбутньої величини елементарного потоку платежів на наступному прикладі.

Приклад 1.2.

Сума в 10000 поміщена в банк на депозит строком на 4 року. Ставка по депозиту - 10% річних. Відсотки по депозиту нараховуються раз на рік. Яка буде величина депозиту наприкінці терміну?

За умовами даної операції відомими величинами є: початкова сума вкладу PV = 10000, процентна ставка r = 10% і термін n = 4 роки.

Визначимо майбутню величину вкладу на кінець першого періоду:

FV1 = PV + PV xr = PV(1 + R) = 10000 (1 + 0,1) = 11000.

Відповідно для другого періоду величина FV буде дорівнює:

FV2 = FV1 + FV1 xr = PV(1 + r) + PV(1 + r) X r = PV(1 + R) 2 =

= 10000 (1 + 0,1) 2 = 12100.

Для останнього періоду (n = 4):

FV4 = FV3 + FV3 xr = PV(1 + R) Квітень = 10000 (1 + 0,1) 4 = 14 641.

Загальне співвідношення для визначення майбутньої величини має наступний вигляд:

. (1.3)

Неважко помітити, що величина FV істотно залежить від значень r і n. Наприклад, майбутня величина суми всього в 1,00 при річній ставці 15% через 100 років складе 1174313,45!

На рис. 1.1 наведений графік, який відображає зростання суми в 1,00 при різних ставках складних відсотків.

Рис. 1.1. Зростання суми в 1.00 за ставками складних відсотків

На практиці, в залежності від умов фінансової угоди, відсотки можуть нараховуватися кілька разів на рік, наприклад щомісяця, щокварталу і т.д. У цьому випадку співвідношення (1.3) для обчислення майбутньої вартості буде мати наступний вигляд:

,(1.4)

де m - Число періодів нарахування на рік.

Очевидно, що чим більше m, Тим швидше йде нарощення суми.

Припустимо, що в прикладі 1.2 відсотки виплачуються щокварталу (т = 4). Визначимо FV4, 4:

FV4, 4 = 10000,00 (1 + 0,10 / 4) 16 = 14845,06, Тобто на 204,06 більше, ніж при нарахуванні відсотків раз на рік.

Часто виникає необхідність порівняння умов фінансових операцій, що передбачають різні періоди нарахування відсотків. У цьому випадку здійснюють приведення відповідних процентних ставок до їх річного еквівалента:

, (1.5)

де r - Номінальна ставка; m - Число періодів нарахування.

Отриману при цьому величину називають ефективною процентною ставкою (Effective percentage rate - EPR) або ставкою порівняння.

Здійснимо розрахунок ефективної процентної ставки і майбутньої величини вкладу для прикладу 1.2:

ЕPR = (1 + 0,1 / 4) 4 - 1 = 0,103813

FV = 10000,00 (1 + 0,103813) 4 = 14845,06.

Таким чином, умови приміщення суми в 10000,00 на депозит строком на 4 роки під 10% річних при щоквартальному нарахуванні відсотків і під 10,3813%, що нараховуються раз на рік, є еквівалентними.

Сучасна величина елементарного потоку платежів

Формулу для визначення сучасної величини елементарного потоку платежів можна легко вивести із співвідношення (1.3), шляхом поділу його обох частин на величину (1 + r) N. Виконавши відповідні математичні перетворення, отримаємо:

. (1.6)

Приклад 1.3.

Виплачена по 4-х річному депозиту сума склала величину в 14641,00. Визначити первісну величину вкладу, якщо ставка по депозиту рівна 10% річних.

PV = 14641,00 / (1 + 0,1) 4 = 10000,00.

На рис 1.2 наведена графічна діаграма, що відображає процес дисконтування суми в 1,00 при різних ставках складних відсотків.

Рис. 1.2. Дисконтування суми в 1,00 при різних ставках r

Як і слід було очікувати, величина PV також залежить від тривалості операції і процентної ставки, однак залежність тут зворотна - чим більше r і n, Тим менше поточна (сучасна) величина.

У разі, якщо нарахування відсотків здійснюється m-Раз на рік, співвідношення (1.6) буде мати наступний вигляд:

. (1.7)

Обчислення відсоткової ставки і тривалості операції

Формули для визначення величин r і n можуть бути отримані з (1.3) і наводяться нижче в готовому вигляді.

При відомих величинах FV, PV і n, процентну ставку можна визначити за формулою:

. (1.8)

Приклад 1.4.

Сума в 10000,00 вміщена в банк на 4 року склала величину в 14641,00. Визначити процентну ставку (прибутковість операції).

r = (14141,00 / 10000,00) 1 / 4 - 1 = 0,10 (10%).

Тривалість операції визначається шляхом логарифмування:

. (1.9)

Наведені співвідношення (1.3 - 1.9) дозволяють визначити основні кількісні характеристики фінансових операцій, в результаті проведення яких виникають елементарні потоки платежів.

 

 Грошові потоки у вигляді серії рівних платежів (ануїтети)

Потік платежів, всі елементи якого розподілені в часі так, що інтервали між будь-якими двома послідовними платежами постійні, називають фінансовою рентою або ануїтетом (annuity).

Теоретично, в залежності від умов формування, можуть бути отримані досить різноманітні види ануїтетів: з платежами рівним або довільної величини; зі здійсненням виплат на початку, середині або наприкінці періоду та ін

У фінансовій практиці часто зустрічаються так звані прості або звичайні ануїтети (ordinary annuity, regular annuity), які передбачають отримання або виплати однакових за величиною сум на Протягом всього терміну операції в кінці кожного періоду (року, півріччя, кварталу, місяця і т.д.).

Виплати по облігаціях з фіксованою ставкою купона, банківських кредитах, довгостроковій оренді, страховими полісами, формування різних фондів - все це далеко неповний перелік фінансових операцій, грошові потоки яких, представляють собою звичайні ануїтети. Розглянемо їх властивості та основні кількісні характеристики.

Згідно з визначенням, простий ануїтет володіє двома важливими властивостями:

1) усі його n-Елементів рівні між собою: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;

1. Відрізки часу між виплатою / отриманням сум CF однакові, тобто tn - tn-1 = ...= t2 - t1.

На відміну від разових платежів, для кількісного аналізу ануїтетів нам знадобляться всі виділені раніше характеристики грошових потоків: FV, PV, CF, r і n.

 

Майбутня вартість простого (звичайного) ануїтету

Майбутня вартість ануїтету простого являє собою суму всіх складових його платежів з нарахованими відсотками на кінець терміну проведення операції.

Методику визначення майбутньої вартості ануїтету покажемо на наступному прикладі.

Приклад 1.10.

Фінансова компанія створює фонд для погашення своїх облігацій шляхом щорічних приміщень в банк сум у 10000 під 10% річних. Яка буде величина фонду до кінця 4-го року?

FV4 = 10000 (1 +0,10) 3 10 000 (1 +0,10) 2 10 000 (1 +0,10) 1 10000 = 46410.

Для n-Періодів:

. (1.10)

Виконавши ряд математичних перетворень над (1.10), можна отримати більш компактну запис:

. (1.11)

Як вже зазначалося раніше, платежі можуть здійснюватися j-Раз на рік (щомісячно, щокварталу і т.д.). Розглянемо найбільш поширений випадок, коли кількість платежів на рік збігається з числом нарахувань відсотків, тобто j = m. У цьому випадку загальна кількість платежів за n-Років дорівнюватиме mn, Процентна ставка - r / m, А величина платежу - CF / m. Тоді, виконавши перетворення над (1.11), отримаємо:

. (1.12)

Приклад 1.11.

Припустимо, що кожен рік щомісяця в банк поміщається сума в 1000. Ставка дорівнює 12% річних, що нараховуються в кінці кожного місяця. Яка буде величина вкладу до кінця 4-го року?

Загальна кількість платежів за 4 роки одно: 4 x 12 = 48. Щомісячна процентна ставка складе: 12 / 12 = 1%. Тоді:

.

Процентна ставка, рівна відношенню номінальної ставки r до кількості періодів нарахування m, Називається періодичною.

Слід відзначити, що періодична ставка відсотків може використовуватися в обчисленнях тільки в тому випадку, якщо число платежів у році дорівнює числу нарахувань відсотків.

 

Поточна (сучасна) вартість простого ануїтету

Під поточної величиною (вартістю) грошового потоку розуміють суму всіх складових його платежів, дисконтованих на момент початку операції.

Визначення поточної вартості грошового потоку, що представляє собою простий ануїтет, покажемо на наступному прикладі.

Приклад 1.12.

Припустимо, що ми хочемо одержувати дохід, рівний 1000 на рік, протягом 4-х років. Яка сума забезпечить отримання такого доходу, якщо ставка за строковими депозитами дорівнює 10% річних?

PV = 1000 / l, 10 + 1000 / (l, 10) 2 + 1000 / (l, 10) 3 + 1000 / (l, 10) 4 = 3169,87.

Загальне співвідношення для визначення поточної величини ануїтету має наступний вигляд:

. (1.13)

Неважко помітити, що вирази в квадратних дужках у (1.13) являє собою множник, рівний сучасної вартості ануїтету в 1 грошову одиницю. Розділивши сучасну вартість PV грошового потоку будь-якого виду на цей множник, можна одержати величину періодичного платежу CF еквівалентного йому ануїтету. Ця математична залежність часто використовується у фінансовому аналізі для приведення потоків з нерівномірними надходженнями до виду звичайного ануїтету.

Для випадку, коли виплати сум ануїтету і нарахування відсотків збігаються в часі, тобто j = m, зручно використовувати співвідношення виду:

. (1.14)

Обчислення суми платежу, процентної ставки і числа періодів

Величину періодичного платежу CF і числа періодів проведення операції n для звичайного ануїтету можна визначити як зі співвідношення (1.9), так і (1.11).

Якщо відома майбутня вартість FV, При заданих n і r величина платежу може бути знайдена з (1.11):

. (1.15)

При цьому вираз у квадратних дужках часто називають коефіцієнтом погашення або накопичення (sinking fund factor).

Відповідно, якщо невідомою величиною є n, Вона визначається за формулою:

. (1.16)

У разі, якщо відома поточна вартість ануїтету PV, Формули для визначення CF і n візьмуть наступний вигляд:

.   (1.17)

. (1.18)

Вираз у квадратних дужках у (1.17) називають коефіцієнтом відновлення або відшкодування капіталу (capital recovery factor).

Обчислення відсоткової ставки для грошових потоків у вигляді серії платежів представляє певні складнощі. Використовувані при цьому ітераційні методи забезпечують отримання лише наближеної оцінки і не розглядаються в даній роботі. Як буде показано надалі, сучасні табличні процесори дозволяють без особливих ускладнень визначати цей найважливіший параметр будь-якої фінансової операції.

 

 Грошові потоки у вигляді серії платежів довільної величини

Грошові потоки у вигляді платежів довільної величини, що здійснюються через рівні проміжки часу, являють собою найбільш загальний вигляд ануїтетів.

Типовими випадками виникнення таких потоків є капіталовкладення в довгострокові активи, виплати дивідендів по звичайних акціях і ін Слід зазначити, що аналіз ануїтетів з платежами довільної величини вже представляє певні обчислювальні складності. Як правило, визначають найбільш загальні характеристики таких ануїтетів - їх майбутню і сучасну вартість. При цьому передбачається, що всі інші параметри фінансової операції відомі.

У випадку, якщо надходження (виплати) довільних сум здійснюються через рівні проміжки часу, їх майбутню величину можна визначити зі співвідношення 1.19.

. (1.19)

Сучасна вартість потоку з довільними платежами визначається за наступною формулою:

. (1.20)

Як вже було зазначено раніше, будь-який потік з довільними платежами може бути приведений до вигляду ануїтету. Формула приведення може бути задана наступним чином:

, (1.21)

де CF - періодичний платіж за ануїтет, еквівалентному безпідставного грошового потоку за величиною сучасної вартості.

Подібне приведення може корисним при порівнянні фінансових операцій з довільними потоками платежів і різної тривалістю в часі.